Semester 5: Analisis Runtun Waktu

 ANALISIS RUNTUN WAKTU

Analisis runtun waktu merupakan salah satu metode  peramalan yang sering digunakan. Ciri-ciri analisis runtun waktu yang sangat menonjol adalah bahwa deretan observasi pada suatu variabel dipandang sebagai realisasi dari variabel random berdistribusi bersama. Yakni kita menganggap adanya fungsi probabilitas bersama pada variabel random Z₁, Z₂,..., Z_n misalnya f_1,2,...,n (Z₁, Z₂ , ..., Z_n ) dengan indeks 1,2,...,n pada fungsi kepadatan menunjukkan kenyataan bahwa pada umumnya parameter atau bahkan bentuk fungsi kepadatan itu bergantung pada titik waktu tertentu. Model seperti ini dinamakan proses stokhastik, karena observasi berurutan yang tersusun melalui waktu mengikuti suatu hukum probabilitas.

Dalam Brockwell and Davis (1991), Box et al. (1994), Tsay (2005) dan Wei (2006) dinyatakan bahwa pemodelan statistik untuk analisis runtun waktu jika dirunut ke belakang, diawali oleh Yule pada tahun 1927 yang memperkenalkan model autoregressive linear (AR) untuk meramalkan bilangan tahunan sunspot. Sejak itu publikasi berkaitan dengan analisis runtun waktu berkembang dengan pesat. Sebagian besar penelitian difokuskan pada model runtun waktu linear, khususnya model linear Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang dikenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976.

Menurut Box et al. (1994), sampai saat ini ARIMA merupakan salah satu model yang paling populer untuk  prediksi data runtun waktu univariat. Model-model  stasioner non musiman terdiri dari AR, MA dan ARMA, sedangkan model  non stasioner non musiman terdiri dari ARI, IMA dan ARIMA. Apabila komponen musiman dimasukkan ke dalam model ARIMA menjadi model musiman (SARIMA). Metode  Box-Jenkins untuk pemodelan ARIMA terdiri dari beberapa tahapan, yaitu identifikasi, estimasi parameter, verifikasi model dan forecasting.  

(i)        Identifikasi

Prosedur identifikasi model dimulai dengan uji stasioneritas data. Stasioneritas data dapat dideteksi secara visual menggunakan  plot data runtun waktu. Data dikatakan stasioner apabila plot data runtun waktu tidak menunjukkan adanya tren. Sedangkan untuk mengidentifikasi order dari suatu model ARIMA dapat dideteksi melalui plot fungsi autokorelasi (f.a.k) dan fungsi autokorelasi parsial (f.a.k.p). Karakteristik f.a.k dan f.a.k.p. teoritis untuk proses stasioner dapat dilihat pada Tabel 2.1 berikut (Wei, 2006).

Tabel 2.1. Karakteristik f.a.k dan f.a.k.p. teoritis untuk proses stasioner.

Proses	f.a.k.	f.a.k.p.
AR(p)	Turun secara eksponensial atau membentuk gelombang sinus	Terputus setelah lag-p
MA(q)	Terputus setelah lag-q	Turun secara eksponensial atau membentuk gelombang sinus
ARMA(p,q)	Dies down	Dies down

(ii)      Estimasi parameter

Parameter-parameter model ARIMA dapat diestimasi menggunakan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE), Metode Moment atau Metode Kuadrat Terkecil (LSE). Parameter-parameter model diestimasi berdasarkan data. Estimasi awal parameter yang ditemukan pada identifikasi model dapat digunakan sebagai nilai awal dalam metode estimasi secara iteratif. 

(iii)    Verifikasi model

Model yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya harus dilakukan beberapa tahapan pengujian asumsi untuk mendapatkan model terbaik. Pengujian ini  meliputi uji independensi residual dan uji homoskedastisitas. Apabila hasil pengujian menyimpulkan bahwa  residual memenuhi syarat-syarat white noise dan memenuhi kriteria AIC atau SBC untuk pemilihan model terbaik maka model yang diestimasi pada langkah sebelumnya dapat ditetapkan sebagai model terbaik.

(iv)    Prediksi (forecasting)

Prediksi data runtun waktu beberapa langkah ke depan dapat dilakukan berdasarkan model terbaik yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya.

Adapun bagan singkat prodesur Box-Jenkins pemodelan ARIMA diberikan seperti pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1. Bagan prosedur pemodelan ARIMA

KONSEP DASAR ANALISIS RUNTUN WAKTU

AUTOKORELASI

            Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi berurut dalam waktu. Runtun waktu yang dibicarakan hanya runtun waktu diskrit dengan observasi Z_t pada waktu 1,2,...,n. Jika runtun waktu aslinya kontinyu, kita masih dapat memperoleh runtun  waktu yang diskrit dengan mengambil observasi pada waktu tertentu. Suatu runtun waktu statistik dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu proses statistik (stokhastik). Dengan demikian sebarang Z_t dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu variabel random Z_t yang mempunyai fungsi kepadatan peluang tertentu f(Z_t). Jika suatu proses stokastik mempunyai fungsi kepadatan peluang bersama yang independen dengan waktu t, dengan struktur probabilistik tidak berubah dengan berubahnya waktu maka disebut proses stasioner. Jika tidak demikian dikatakan proses tidak stasioner.

Dalam proses stasioner berlaku :

        

dengan dan untuk semua k, adalah konstan. Disini  adalah mean proses itu dan adalah autokovariansi pada lag k. Proses  ini mempunyai variansi konstan, yakni

           

Untuk semua bilangan k berlaku :

           

karena

           

Autokorelasi pada lag k didefinisikan sebagai:

           

Fungsi autokorelasi, disingkat f.a.k dibentuk dengan himpunan  dengan =1.

Autokorelasi

            Dari suatu runtun waktu yang stasioner Z₁, Z₂,..., Z_n, kita dapat mengestimasi mean  dengan menggunakan satatistik

           

dan untuk k=0,1,2,...

           

Nilai kemudian diestimasi dengan

           

            Untuk proses normal yang stasioner, Rumus Bartlett, dengan menganggap bahwa  =0 untuk semua k>K,

            .

Ini menunjukkan nilai-nilai yang berurutan dapat mempunyai korelasi yang tinggi. Dengan mengambil nilai s=0, maka rumus Bartlett untuk semua k>K

           

dan untuk N yang sangat besar, jika =0, mendekati distribusi normal.

Dalam praktek, rumus variansi menjadi

           

Dan akar positifnya merupakan sesatan standar  atau SE() untuk lag besar.

Contoh 1

1. Hitung r1 untuk delapan nilai pertama
2. Hitung r1, r2,….,r12 untuk semua 50 data

1-10	289	285	289	286	288	287	288	292	291	291
11-20	291	296	297	301	304	304	303	307	299	296
21-30	293	301	293	301	295	284	286	286	287	284
31-40	282	278	281	278	277	279	278	270	268	272
41-50	273	279	279	280	275	271	277	278	279	283

 

Autokorelasi Parsial

            Alat lain yang digunakan dalam analisis runtun waktu adalah fungsi autokorelasi parsial (f.a.k.p) yang ditulis dengan yaitu himpunan autokorelasi parsial untuk berbagai lag k. Ini didefinisikan sebagai :

             dengan

           

adalah matriks definit posotif dan adalah P_k dengan kolom terakhir diganti dengan

           

Nilai estimasi diperoleh dengan mengganti dengan r_i .

Sehingga

 dan seterusnya.

            Untuk lag yang cukup besar, dimana f.a.k.p menjadi kecil sekali (mendekati nol), Quenouille memberikan rumus

            Var().

Untuk N yang sangat besar,  mendekati distribusi normal.

Contoh 2.

Tentukan nilai  untuk data pada contoh 1.

Latihan 1

Latihan 2

METODE BOX-JENKINS

            Metode Box-Jenkins untuk analisis runtun waktu menggunakan operator backshift B yang didefinisikan sebagai :

            BZ_t = Z_t-1

dan operator diferensi  yang didefinisikan sebagai

      Z_t = Z_t - Z_t-1 = (1-B) Z_t

Dengan demikian kedua operator tersebut mempunyai hubungan

            = (1-B)

dan memenuhi hukum-hukum aljabar elementer. Model proses statistik dalam bentuk

           

kerap digunakan, dengan  merupakan polinomial, dan a_t runtun getaran yang dibangkitkan oleh white noise (getaran random). Runtun {a_t} independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi konstan .

           

PROSES AUTOREGRESIF (AR)

            Bentuk umum suatu proses autoregresif tingkat p  (AR(p)) adalah :

           

yakni nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai jumlah tertimbang nilai-nilai yang lalu ditambah suatu sesatan (goncangan random) sekarang. Jadi dapat dipandang Z_t diregresikan pada p nilai yang Z yang lalu. Persamaan diatas biasa ditulis sebagai :

dengan  dinamakan operator AR(p). Syarat perlu dan cukup agar proses AR(p) stasioner adalah semua akar dari  terletak didalam lingkaran satuan. Proses AR(p) selalu invertibel.

PROSES RATA-RATA BERGERAK

(MOVING AVERAGE - MA)

            Model Moving Average tingkat q, atau proses MA(q), didefinisikan sebagai

                                                  (3.1)

dengan a_t independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi . Persamaan diatas dapat ditulis

                                                                            (3.2)

dengan .

            Persamaan (3.2) dapat juga ditulis

              atau                                            (3.3)

Proses MA(q) dikatakan invertibel jika harga koefisien  merupakan deret yang konvergen, yaitu  jika dan hanya jika akar-akar  semuanya terletak didalam lingkaran satuan. Proses ini selalu stasioner.

PROSES CAMPURAN (ARMA)

            Suatu perluasan yang diperoleh dari model AR dan MA adalah model campuran yang berbentuk

                         (3.4)

dan dinamakan model ARMA(p,q). Model ini biasa ditulis :

                   

Untuk stasioneritas dan invertibilitas memerlukan akar-akar  dan  terletak diluar lingkaran satuan .

ANALISIS RUNTUN WAKTU NONSTASIONER

            Runtun waktu yang stasioner jarang dijumpai dalam praktek, namun stasineritas merupakan asumsi yang sangat bermanfaat dalam mempelajari runtun waktu. Ada banyak hal yang menyebabkan suatu runtun waktu  tidak stasioner, tetapi yang paling banyak dijumpai adalah runtun waktu yang tidak mempunyai mean yang tetap. Kebanyakan runtun waktu harga termasuk kategori ini, demikian juga runtun waktu hasil, seperti jumlah penjualan suatu perusahaan. Runtun waktu pengeluaran (belanja) seperti belanja konsumen untuk barang-barang lama, belanja pemerintah, atau belanja perusahaan untuk barang modal (kapital) juga termasuk runtun waktu nonstasioner.

Runtun waktu selisih yang Stasioner

            Pengambilan selisih nilai-nilai yang berurutan dari runtun waktu nonstasioner ,homogen merupakan suatu cara untuk membuat runtun waktu menjadi stasioner. Lebih lanjut jika didefinisikan barisan selisih

            W_t = Z_t – Z_t-1

Maka proses umum ARMA dapat ditulis

                     (4.1)

Persamaan (4.1) tersebut dapat dipandang sebagai integrated autoregresive-moving average process (ARIMA). Dalam banyak kasus dapat terjadi bahwa selisih pertama suatu runtun waktu masih nonstasioner, mungkin selisih kedua menjadi stasioner.Dengan menuliskan derajat selisih dengan d, maka suatu proses ARIMA dapat digambarkan dengan dimensi p,d dan q . Jadi ARIMA(p,d,q) berarti runtun waktu nonstasioner setelah diambil selisih ke d menjadi stasioner.

Materi by Dosen Times Series Statistika Undip