Semester 5: Manajemen Risiko: Perhitungan Value at Risk dengan Pendekatan Distribusi Normal

PERHITUNGAN VALUE at RISK (VaR)

DENGAN PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL

1.      Value at Risk (VaR)

Semenjak Morgan (1999) mempublikasikan Riskmetrics, perhitungan risiko dirasa sangat penting dalam analisis keuangan. Value at Risk merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup popular. VaR merupakan salah satu alat analisis statistik yang digunakan untuk mengukur kerugian dalam investasi.

VaR didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang mungkin dialami pada suatu periode tertentu dengan tingkat kepercayaan (confidence level) tertentu. VaR dapat menghitung besarnya kerugian terburuk yang dapat terjadi berdasarkan volatilitas dari asset, tingkat kepercayaan akan terjadinya risiko dan jangka waktu penempatan asset.

Dalam penghitungan VaR, jika didefinisikan sebagai nilai investasi awal dari asset maka nilai asset pada akhir periode waktu adalah . Seperti diketahui bahwa expected return dan volatilitas dari R masing-masing adalah  dan .  adalah nilai asset pada tingkat kepercayaan (1-), dengan serta merupakan nilai return yang dihasilkan pada tingkat kepercayaan (1-).

Definisi VaR dibedakan menjadi dua macam yaitu VaR absolute dan VaR relative.  VaR absolute merupakan kerugian (dalam satuan uang) relative terhadap nol (tanpa acuan mean).

VaR _absolute = .              (1)

VaR relative untuk distribusi umum didefinisikan sebagai kerugian relative terhadap mean.

VaR _relatif = .                       (2)

Berdasarkan dua definisi tersebut, VaR ekuivalen dengan pengidentifikasian nilai minimum dari  atau titik kritis dari return , dimana VaR absolute (Mean Zero absolute VaR) mempertimbangkan kerugian murni dalam kaitannya dengan pergerakan pasar tanpa mempertimbangkan return yang diturunkan dari asset. VaR absolute mengasumsikan expected return berdistribusi normal dengan mean nol. Sedangkan VaR relative (Earnings at Risk) menyertakan expected return dalam perhitungan VaR.

            Dalam praktek, jika yang digunakan adalah pendekatan metode parametrik, maka yang digunakan adalah VaR relatif, karena aplikasi VaR relatif lebih mudah yaitu tidak membutuhkan evaluasi mean return. Untuk selanjutnya pembahasan difokuskan pada VaR relatif.

            Dalam bentuk umum, VaR dapat ditentukan melalui distribusi nilai return di masa depan  dengan : return asset. Pada tingkat kepercayaan (1-) akan ditentukan nilai sehingga probabilitas  lebih dari sama dengan (1-).

                        (3)

Atau probabilitas munculnya nilai return kurang atau sama dengan  , yaitu sama dengan , adalah sebagai berikut.

            = .                        (4)

            Dengan kata lain, pada daerah (] harus sama dengan  (misal 5%). Nilai  merupakan persentil- dari distribusi return yang merupakan nilai kritis dengan peluang yang sudah ditentukan. Perhitungan VaR dalam persamaan (4) bersifat fleksibel untuk setiap distribusi peluang.

2.      Tingkat kepercayaan

Tingkat kepercayaan yaitu peluang bahwa VaR tidak akan melampaui maksimum kerugian. Penentuan tingkat kepercayaan dalam perhitungan VaR tergantung penggunaan VaR. Hal ini sangat penting bagi perusahaan karena dapat menggambarkan kemampuan perusahaan dalam mengambil risiko kerugian. Semakin besar risiko yang diambil perusahaan, semakin besar pula tingkat kepercayaan dan alokasi modal untuk menutupi kerugian modal yang diambil.

3.      Periode waktu

Periode waktu (holding period) yaitu periode suatu institusi memegang suatu asset. Pada umumnya, institusi-institusi financial seperti perbankan, VaR dihitung dalam periode 1 hari, 1 minggu (5 hari bisnis) sampai 2 minggu. Sedangkan perusahaan yang mempunyai asset real seperti perusahaan property atau real estate menggunakan periode waktu lebih lama yaitu 1 bulan (20  hari bisnis) sampai dengan 4 bulan bahkan 1 tahun.

Untuk holding periode lebih dari 1 hari, diperlukan konversi untuk mean dan variansi dari return selama periode yang diinginkan. Jika  dan  menyatakan mean dan variansi dari return sepanjang holding period (hp) tertentu,  maka mean dan variansi sepanjang hp tertentu adalah:

                                                                  (5)

, sehingga .                        (6)

Secara umum, the Bassel Commettee on Banking Supervision menentukan aturan konversi waktu dalam perhitungan VaR sebagai square root time rule (Dowd, 2002) sebagai:

VaR(hp, (1-α)) =  VaR(1, (1-α)).             (7)

4.      Normal Value at Risk

Perhitungan VaR dengan distribusi normal merupakan perhitungan VaR dengan pendekatan parametrik karena melibatkan estimasi parameter. Langkah awal yang harus dilakukan adalah membawa bentuk distribusi umum  ke bentuk distribusi normal standard , dengan mean 0 dan variansi 1.

             Perhitungan VaR ekuivalen dengan perhitungan deviasi sehingga luas daerah sebelah kiri sama dengan , maka

            ==

=

=,                                                     (8)

dengan 1- adalah tingkat kepercayaan dari variabel random normal standard Z. Jika dipilih tingkat kepercayaan 1-, maka didefinisikan sebagai kuantil distribusi normal standard sedemikian hingga  dari densitas peluang berada di sebelah kiri dan 1- berada di sebelah kanan. Sebagai contoh pada tingkat kepercayaan 95% (=5%) akan diperoleh =-1,645. Sehingga

.                                                (9)

Selanjutnya dapat dibentuk formulasi VaR dengan mensubsitusikan persamaan (9) ke persamaan (2), yaitu:

VaR = .

        =

VaR=.                                             (10)

Kemudian subsitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (7) sehingga diperoleh rumus untuk VaR sepanjang holding period (hp) dan tingkat kepercayaan (1-α) sebagai berikut:

VaR(hp, (1-α)) =               (11)

Contoh Perhitungan VaR

Dalam perhitungan VaR, ada 3 komponen penting yang harus diperhatikan, yaitu holding period, tingkat kepercayaan dan estimasi kerugian.  Dalam contoh perhitungan VaR ini diasumsikan besarnya investasi Rp 1 milyar. Perhitungan VaR menggunakan persamaan VaR normal.

Contoh

Diberikan data return saham Bumi resources, Telkom, Inco dan UNTR sebagai berikut.

Tanggal	BUMI	r(bumi)	TELKOM	r(telkom)	Rp (Bumi,Telkom)	INCO	UNTR
2-Jan-08	6000		7600			32300	6700
3-Jan-08	6000	0	7600	0	0	29850	7100
4-Jan-08	6350	0.056695	7800	0.025975	0.031892	29950	7500
7-Jan-08	6400	0.007843	7800	0	0.001511	30050	7400
8-Jan-08	6300	-0.01575	7750	-0.00643	-0.00823	29550	7300
9-Jan-08	6350	0.007905	7700	-0.00647	-0.0037	29000	6800
14-Jan-08	6350	0	7800	0.012903	0.010418	27000	6900
15-Jan-08	6100	-0.04017	7750	-0.00643	-0.01293	26950	6850
16-Jan-08	5650	-0.07663	7550	-0.02615	-0.03587	27750	7050
17-Jan-08	5650	0	7650	0.013158	0.010624	28600	7050
18-Jan-08	5650	0	7750	0.012987	0.010486	30150	7100
21-Jan-08	5050	-0.11227	7550	-0.02615	-0.04273	30250	6800
22-Jan-08	4700	-0.07183	7450	-0.01333	-0.0246	31550	6600
23-Jan-08	5425	0.143455	7300	-0.02034	0.011207	32800	6650
24-Jan-08	5400	-0.00462	7450	0.02034	0.015533	34850	6550
25-Jan-08	5950	0.096992	7500	0.006689	0.024081	35800	6550
28-Jan-08	6500	0.088411	7350	-0.0202	0.000716	35600	6600
29-Jan-08	6600	0.015267	7400	0.00678	0.008414	34200	6600
30-Jan-08	6400	-0.03077	7600	0.026668	0.015605	34500	6650
31-Jan-08	6400	0	7600	0	0	34500	6750
1-Feb-08	6650	0.038319	7400	-0.02667	-0.01415	34200	6750
4-Feb-08	7250	0.086385	7500	0.013423	0.027475	33000	6850
5-Feb-08	7350	0.013699	7900	0.05196	0.044591	32500	6750
6-Feb-08	7150	-0.02759	8200	0.037271	0.024779	32800	6650
11-Feb-08	7000	-0.0212	8600	0.047628	0.034371	33500	6650
12-Feb-08	6850	-0.02166	8450	-0.0176	-0.01838	33650	6450
13-Feb-08	7100	0.035846	8550	0.011765	0.016403	33500	6500
14-Feb-08	7300	0.02778	8100	-0.05407	-0.0383	35500	6300
15-Feb-08	7250	-0.00687	7950	-0.01869	-0.01642	35300	6350
18-Feb-08	7400	0.020479	7900	-0.00631	-0.00115	36050	6500
19-Feb-08	7450	0.006734	8000	0.012579	0.011453	37950	6650
20-Feb-08	7350	-0.01351	8050	0.006231	0.002428	40050	6800
21-Feb-08	7800	0.059423	7850	-0.02516	-0.00887	41700	6850
22-Feb-08	7950	0.019048	8000	0.018928	0.018951	42950	7100
25-Feb-08	7850	-0.01266	8200	0.024693	0.017499	42200	7400
26-Feb-08	7750	-0.01282	8450	0.030032	0.021779	42200	7300
27-Feb-08	7900	0.01917	8450	0	0.003692	41950	7100
28-Feb-08	7950	0.006309	8300	-0.01791	-0.01325	41450	7100
29-Feb-08	7700	-0.03195	8400	0.011976	0.003516	40850	7100

1.      Perhitungan manual pada saham BUMI

a.                   Mean

=1/39 (0 + 0.056695+ …+0) = 0.006565

b.                  Standard deviasi

=1/(39-1) [(0-0.006565)² +(0.056695-0.006565)² +… 

+ (0.006565)² ]

= 0.002308

c.                   Perhitungan normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 1 hari

VaR (hp, (1-α)) =  

VaR (1, 95%) =

                        = -(-1,645).1.( 0.048042)(1.000.000.000)

                        = 79.030.000

Nilai normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 1 hari adalah 7,903%

d.                  Perhitungan normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 5 hari

VaR (hp, (1-α)) =  

VaR (5, 95%) =

                        = -(-1,645). .(0.048042)(1.000.000.000)

                                    = 176716000

Nilai normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 5 hari adalah 17,6716%

PORTOFOLIO

            Portofolio adalah gabungan dua sekuritas atau lebih yang terpilih sebagai target investasi dari investor pada suatu kurun waktu tertentu dengan ketentuan tertentu, misalnya mengenai proporsi pembagian dana atau modal yang ditanamkan (Tandelilin, 2001).

            Dalam pembentukan portofolio, seorang investor berusaha memaksimalkan tingkat pengembalian (expected return) dari investasi dengan tingkat risiko tertentu atau dengan kata lain, portofolio yang dibentuk dapat memberikan tingkat risiko terendah dengan expected return  tertentu. Portofolio yang mencapai tujuan tersebut disebut dengan portofolio yang efisien. Jika seorang investor dihadapkan pada beberapa portofolio yang efisien, maka investor sebaiknya memilih portofolio yang optimal.

            Dalam pembetukan portofolio, setiap asset memiliki kontribusi dengan pembobotan . Dalam portofolio optimal, komposisi bobot ditentukan menggunakan kriteria optimalitas. Kriteria optimalitas yang dimaksud adalah dengan menggunakan efisiensi varian dari portofolio yang dibentuk dan tidak memasukkan asset bebas risiko (seperti SBI) dalam portofolionya. Penentuan bobot optimal dapat diselesaikan dengan batasan bahwa jumlah bobot portofolio = 1 ().

            Didefinisikan varian portofolio sebagai:

.

Meminimalkan fungsi  terhadap sama halnya dengan meminimalkan fungsi .

Tujuannya adalah meminimalkan risiko berdasarkan mean return portofolio yang terbentuk. Secara matematis dapat ditulis sebagai:

            ,

dengan batasan .

Secara matematis, permasalahan optimalisasi tersebut dapat diselesaikan dengan fungsi Lagrange.

                     (12)

dengan L= fungsi Lagrange,

= faktor pengali Lagrange.

Untuk mendapatkan nilai optimal dari bobot , fungsi L diturunkan parsial terhadap dan hasilnya disamakan dengan nol. Turunan parsial L terhadap  adalah:

                                         (13)

Dengan mensubsitusikan persamaan (13) ke (12) diperoleh:

Besaran tersebut merupakan fungsi dari  maka

                             (14)

Persamaan (14)  disamakan dengan nol, sehingga diperoleh:

                                              (15)

karena

.

Persamaan (15) disubstitusikan ke (13) diperoleh bobot :

.

Jika bobot masing-masing asset sudah ditentukan maka return portofolio dapat ditentukan dengan rumus:

dengan  : bobot asset ke-i (i=1,2,…, N) dan

   : return asset ke-i pada periode waktu t.

Risiko portofolio adalah kerugian yang dihadapi secara total karena harga sekumpulan asset lebih kecil dari pada return portofolio yang diharapkan. Semakin banyak peluang terjadinya return yang rendah bahkan negative dari suatu portofolio investasi maka semakin berisiko suatu portofolio investasi. Semakin besar dispersi dari expected return suatu portofolio investasi maka semakin besar pula risiko portofolio investasinya dengan asumsi berdistribusi normal.

Pada dasarnya retun portofolio dipengaruhi oleh:

1. Risiko masing-masing saham
2. Proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham
3. Kovarian atau koefisien korelasi antarsaham dalam portofolio
4. Jumlah saham yang membentuk portofolio (Halim, 2005).

Penghitungan VaR portofolio

Dengan asumsi periode kepemilikan 1 hari (harian) maka rumus (11) menjadi VaR(1-α)= . Perbedaan perhitungan VaR individu dan VaR portofolio terletak pada perhitungan volatilitas  (). Pada perhitungan VaR portofolio, volatilitas dapat diestimasi dengan akar kuadrat dari varian portofolio. Langkah-langkah perhitungan VaR portofolio adalah sebagai berikut.

Materi by Dosen Manajemen Risiko Statistika Undip